Факультет » Кафедры » Кафедра 804
Теория вероятностей » Программы основных учебных курсов

Программы основных учебных курсов

(ПЕРЕЧЕНЬ)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Множества. Функции. Метрические пространства. Примеры функциональных пространств.
ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА. Классы множеств. Функции множества и меры. Продолжение меры. Измеримые функции. Виды сходимости последовательностей измеримых функций. Интегралы Римана и Лебега. Интегралы Лебега-Стилтьеса. Абсолютная непрерывность и сингулярность мер. Лебеговы пространства. Меры в произведениях пространств. Кратные интегралы. Теорема Фубини.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Линейные функционалы. Продолжение линейного функционала. Теорема Хана-Банаха. Способы задания топологии. Компактность. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах. Слабая топология. Слабая сходимость. Слабо непрерывные и измеримые функции.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ. Пространство основных функций. Определение обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. Ряды обобщенных функций. Дельта-функция - определения, основные свойства. Использование дельта-функции в теории управления.
ПРОСТРАНСТВА ОПЕРАТОРОВ И ФУНКЦИОНАЛОВ. Действия над операторами и функционалами. Сопряженные пространства. Топологии в пространстве ограниченных линейных операторов.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Основные понятия и теоремы. Основные классы операторов. Операторные уравнения. Спектр оператора. Сжимающие отображения. Теоремы о неподвижной точке.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. Гильбертовы пространства. Самосопряженные операторы. Проектор и его свойства. Последовательности векторов и базисы. Компактные операторы. Операторы Гильберта-Шмидта. Ядерные операторы.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ. Спектральное разложение компактного самосопряженного оператора. Операторы, определяемые разложением единицы. Функции от операторов. Спектральное разложение унитарного и нормального операторов.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ. Дифференцирование операторов и функционалов. Экстремумы функционалов. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. Метод Ньютона-Канторовича.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. Статистическая регулярность непредсказуемых событий. Частота и вероятность. Пространство элементарных событий. Действия над событиями. Аксиомы Колмогорова. Основные свойства вероятности. Классическая формула теории вероятностей. Элементы комбинаторики, гипергеометрическая формула. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность, независимость событий. Формула умножения вероятностей. Статистические гипотезы. Формулы полной вероятности и Байеса. Последовательность независимых испытаний, формула Бернулли.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Числовые характеристики опыта. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Ряд распределения. Вероятность попадания дискретной случайной величины в заданную область. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. Основные дискретные распределения (равномерное, Бернулли, биномиальное, Пуассона, геометрическое). Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины. Характеристическая функция случайной величины. Вычисление вероятности попадания непрерывной случайной величины в заданную область. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Общие свойства математического ожидания и дисперсии. Основные непрерывные распределения (равномерное, показательное, нормальное). Неравенство Чебышева. Законы распределения функций случайных величин.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ. Закон распределения и моментные характеристики случайного вектора. Ковариация и корреляция, их основные свойства. Ковариационная матрица. Нормальный случайный вектор. Линейные преобразования случайного вектора. Последовательности независимых случайных величин. Законы больших чисел.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

СТАТИСТИКА СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ. Основные вероятностные характеристики случайных величин. Характеристическая функция случайного вектора. Свойства гауссовского случайного вектора. Условное математическое ожидание. Теорема о нормальной корреляции.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Законы больших чисел. Центральная предельная теорема.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. Выборка, вариационный ряд, статистика, порядковые статистики. Выборочные функция распределения, моменты и квантили. Точечные оценки неслучайных параметров. Среднеквадратичный критерий. Несмещенность и оптимальность. Состоятельность и асимптотическая нормальность.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Регулярный статистический эксперимент. Эффективность оценок по Рао-Крамеру. Асимптотически эффективные оценки. Интервальные оценки параметров распределений.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Линейная нормальная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок МНК. Подбор порядка модели полиномиальной регрессии.
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Параметрические и непараметрические оценки закона распределения. Общая схема проверки гипотезы. Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотез об однородности, независимости и случайности.

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Семейство конечномерных распределений случайного процесса и способы его задания. Теорема Колмогорова о существования случайного процесса. Гауссовские процессы. Моментные характеристики: математическое ожидание и ковариационная функция. Эквивалентные случайные процессы. Свойства траекторий случайных функций. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации.
СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ В СРЕДНЕМ КВАДРАТИЧНОМ (С.К.). Критерии с.к.- сходимости, непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости. Нахождение моментных характеристик при линейном преобразовании случайного процесса
ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ. Стохастический интеграл по процессу с ортогональными приращениями. Понятие непрерывного белого шума. Линейные стохастические дифференциальными уравнения. Метод моментов.
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Винеровский процесс и его свойства. Стохастический интеграл Ито по винеровскому процессу. Формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения Ито и диффузионные процессы.
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Спектральное представление стационарного процесса и его ковариационной функции. Формулы Винера-Хинчина в непрерывном и дискретном времени. Стационарные линейные преобразования над случайными процессами и их спектральные характеристики.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ. Переходная вероятность. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основные модели марковских процессов. Пуассоновский процесс и его свойства. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Однородные цепи Маркова с дискретным и непрерывным временем. Классификации состояний. Существование стационарного распределения. Приложение к задачам теории массового обслуживания.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ (МЭ). Математическое моделирование экономических процессов. Системный подход. Проблемы МЭ: анализ и синтез моделей, прогнозирование, оптимизация, управление. Принятие экономических решений в условиях неопределенности.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Классификация моделей МЭ. Модель оптимального инвестирования. Линейная модель производства. Модели потребления. Производственная функция. Временные ряды, модель делового цикла.
СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ. Линейная статическая модель производства. Типы ограничений, способы их задания. Многогранные множества. Существование решения задачи оптимизации линейной модели. Симплекс-метод. Двойственность, экономический смысл двойственного решения.
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Игровой (минимаксный) подход к принятию экономических решений. Теорема фон-Неймана. Решение игры в чистых и смешанных стратегиях, применение симплекс-метода. Оптимизация поведения на рынке и проведение рекламной кампании.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. Динамические модели экономических систем. Стохастические модели динамики. Постановка задачи оптимизации. Метод Беллмана. Проблема распределения заказов на фирме. Оптимизация перевозок. Линейно-квадратичная задача управления.
ТЕОРИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ. Пространство товаров. Отношение предпочтения. Функция полезности. Множество безразличия. Предельная норма замещения товаров. Оптимизация потребления - случай двух товаров и общий случай.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФИРМЫ. Основные понятия теории производства, управляемые факторы. Производственная функция Кобба-Дугласа и ее обобщения. Основные характеристики модели производства на фирме. CES - функция. Оптимизация производства на фирме.
ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ. Формирование равновесных цен в условиях чистой конкуренции. Паутинная модель рынка. Модель ценообразования Вальраса. Модель Леонтьева. Конкурентное равновесие. Закон Вальраса. Равновесие по Вальрасу в модели Эрроу-Дебре. Оптимальность по Парето конкурентного равновесия. Равновесие с гарантированными доходами.
МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА. Основное дифференциальное уравнение модели роста. Золотое правило накопления. Оптимальный экономический рост. Траектории сбалансированного роста. Двухсекторная модель. Равновесие, соответствующее сбалансированному росту.
ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК. Структура финансового рынка. Основные виды ценных бумаг. Валютная биржа. Инфляция, дефляция, стагфляция. Экспоненциальная модель инфляции. Динамика банковского счета. Динамика депозита и срочного вклада. Стратегии кредитования в условиях инфляции. Ипотека. Финансовое регулирование.
ОПТИМАЛЬНОЕ ИНВЕСТИРОВАНИЕ. Акции и их обращение на рынке. Эффективность ценной бумаги, ее математическая модель. Парадокс Модильяни-Миллера. Вероятностные характеристики инвестиционного портфеля (ИП) ценных бумаг. Оптимизация ИП по Марковицу. Качественное описание поведения оптимальных решений при изменении ожидаемой доходности ИП. Модель ИП Марковица-Тобина.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. Линейные регрессионные экономические модели: рост производства, цена акции, валютный курс. Оценивание с помощью обобщенного МНК. Нелинейные экономические модели: производственная функция с постоянной эластичностью замещения, кусочно-линейная функция потребления. Идентификация методом Марквардта. Эконометрия структурных изменений. Сплайновые эконометрические модели. Оценивание параметров при заданных точках переключения. Оценивание моментов структурных изменений. Математические модели экономических временных рядов.

ПРИКЛАДНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Целевая функция, математическая модель системы, неконтролируемые и случайные факторы, стратегия управления, критерий оптимальности.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Задача с усредненной целевой функцией, задача с вероятностным ограничением, задача с вероятностным критерием, задача с квантильным критерием (VaR-критерием), задача с усредненным квантильным критерием (CvaR-критерием).
НЕПРЕРЫВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ВЕРОЯТНОСТИ И КВАНТИЛИ. Условия непрерывности и полунепрерывности функций вероятности и квантили, достаточные условия непрерывности.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ. Лемма Роземблатта, связь между множествами решений прямой и обратной задачами, условия эквивалентности этих задач.
ВВЕДЕНИЕ В ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ. Выпуклые и вогнутые функции, свойства выпуклых функций, надграфик функции, квазивыпуклые и квазивогнутые функции, их свойства, связь выпуклых свойств функций с их экстремумами.
ВЫПУКЛЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ВЕРОЯТНОСТИ И КВАНТИЛИ. Связь между квазивыпуклостью функции квантили и квазивогнутостью функции вероятности, квазивогнутость и логарифмическая вогнутость вероятностной меры, условия выпуклости и квазивыпуклости функции квантили, случай кусочно-линейной выпуклой целевой функции.
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Детерминированные эквиваленты для задач с математическим ожиданием в качестве критерия, детерминированные эквиваленты для задач оптимизации с вероятностными критериями для сепарабельной целевой функции.
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Марковская динамическая система, марковский и аддитивный операторы, позиционная и программные стратегии, проблема измеримого выбора, алгоритм динамического программирование, достаточные условия применимости алгоритма динамического программирования.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАНТИЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. Верхняя доверительная оценка функции квантили, оптимальное доверительное множество, нижняя доверительная оценка функции квантили, эквивалентная минимаксная задача.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАНТИЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ГАУССОВСКОМ СЛУЧАЕ. Ядро гауссовской меры, свойства ядра гауссовской меры, нижняя оценка оптимального значения функции квантили, близость верхней и нижней минимаксных оценок , условия сходимости этих оценок к решению задачи квантильной оптимизации.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КРИТЕРИЕВ. Частотная и ядерная оценки функции вероятности, теоремы Колмогорова и Муавра-Лапласа, выборочные оценки функции квантили и усредненной функции квантили, теоремы Мостеллера и Бахадура, ядерная оценка функции квантили.
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ. Применение метода Монте-Карло для вычисления статистических характеристик, доверительная вероятность, гарантирующее число испытаний при априорном подходе, гарантирующее число испытаний при апостериорном подходе, пуассоновская и гауссовская оценки гарантирующего числа испытаний.
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КРИТЕРИЕВ. Обобщенное неравенство Чебышева, чебышевские оценки функций вероятности и квантили, неравенство Бонферони, сведение задачи вычисления функции вероятности к решению задачи линейного программирования.
МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ. Алгоритм стохастической аппроксимации для вычисления квантили распределения, длина рабочего шага алгоритма, теорема Роббинса-Монро, условия сходимости алгоритма стохастической аппроксимации.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ ВЕРОЯТНОСТИ И КВАНТИЛИ. Градиент функции вероятности в форме поверхностного интеграла и сведение его к объемному, статистические способы вычисления этих интегралов, условия дифференцируемости функции вероятности, случай кусочно-линейной целевой функции, градиент функции квантили.
КВАЗИГРАДИЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Оператор проецирования, стохастический квазиградиент, применение алгоритма стохастической аппроксимации для решения задач стохастического программирования, теорема Кифера-Вольфовица, процедура сглаживания целевой функции, понятие пробного шага алгоритма, условия сходимости квазиградиентных алгоритмов к решениям задач оптимизации вероятностных критериев.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ (МСМ). Математические модели технических систем и их реализация на ЭВМ. Основные принципы организации моделирования. Моделирующие алгоритмы, датчики случайных чисел. Понятие о методе Монте-Карло. Использование МСМ на этапе разработки и испытаний летательных аппаратов (ЛА). Базовые методы оптимальной обработки результатов статистического моделирования: определение частоты события, оценивание моментных характеристик случайного вектора, оценивание закона распределение случайного вектора, оценивание моментных характеристик случайных процессов. Определение точности оценок.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ЭВМ. Моделирование равномерного и нормального распределений. Метод обращения и метод суперпозиции. Методы моделирования некоторых основных распределений. Общий метод моделирования случайного вектора с заданным распределением. Моделирование случайного нормального вектора с заданными параметрами. Моделирование случайного изотропного вектора. Тестирование датчиков случайных чисел с помощью критериев согласия, однородности и случайности.
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ. Моделирование дискретного нестационарного белого шума. Моделирование винеровского процесса. Использование метода канонических разложений и нелинейных параметрических моделей. Моделирование процессов с дискретным временем с помощью модели авторегрессии - скользящего среднего. Моделирование многомерных дискретных стохастических систем. Оптимальная и приближенная дискретизация линейных непрерывных систем. Моделирование стационарных процессов методом формирующих фильтров. Приближенное моделирование нелинейных стохастических непрерывных динамических систем.
ПРИМЕНЕНИЯ МСМ. Использование МСМ в задачах надежности. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Экспериментальные исследования субоптимальных методов обработки измерительной информации. Использование МСМ в задачах вычислительной математики: методы вычисления многомерных интегралов, решение интегральных уравнений и уравнений в частных производных параболического типа, методы случайного поиска экстремума. Оптимизация процедуры МСМ с помощью выделения главной части и формирования существенной выборки. Применение МСМ для исследования статистической динамики управляемого движения ЛА.

ЛИНЕЙНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Способы учета случайных параметров в задаче линейного программирования (ЗЛП). История развития теории линейного стохастического программирования. Примеры нахождения распределений оптимального значения критерия в ЗЛП со случайными параметрами. Задачи с вероятностными ограничениями. Задача минимизации функции квантили и максимизации функции вероятности. Двухэтапные задачи линейного стохастического программирования с критериями в форме математического ожидания и квантили. Сравнительный анализ различных постановок.
ПРОБЛЕМА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. Лемма Фаркаша. Измеримость оптимального значения критерия в ЗЛП со случайными параметрами. Исследование свойств случайной величины, являющейся оптимальным значением критерия в ЗЛП со случайными параметрами. Условия существования моментов этой случайной величины.
ДВУХЭТАПНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С КРИТЕРИЕМ В ФОРМЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ. Задача второго этапа. Условия выпуклости критериальной функции в задаче второго этапа и множества допустимых значений переменных второго этапа. Нахождение верхней и нижней границ оптимального значения критерия в задаче второго этапа. Методы решения двухэтапных задач с критерием в форме математического ожидания. L-shaped метод. Методы декомпозиции в двухэтапных задачах. Прикладные двухэтапные задачи линейного стохастического программирования.
ЗАДАЧИ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ИЛИ ОДНОЭТАПНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТИЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. Свойства критериальной функции и области допустимых значений переменных оптимизации. Задача с вероятностными ограничениями, как частный случай одноэтапной задачи квантильной оптимизации. Метод детерминированного эквивалента. Обобщенный минимаксный подход. Метод нахождения улучшенного гарантирующего решения.
ДВУХЭТАПНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТИЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Априорная и апостериорная постановка задачи, условия их эквивалентности. Связь с методом динамического программирования. Свойства критериальной функции и области допустимых значений переменной оптимизации. Условия существования решения. Методы аппроксимации оптимальных доверительных множеств и алгоритм нахождения гарантирующего решения. Специальные методы нахождения гарантирующих решений в задачах с дискретным распределением случайных параметров. Прикладные двухэтапные задачи квантильной оптимизации.

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ. Математические модели управляемых систем. Точность моделирования. Замкнутые и разомкнутые системы. Значение информации о состоянии в задачах управления. Условие управляемости. Проблема однозначного определения управления. Задачи оптимального управления. Выбор подынтегральной функции в критерии качества.
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ. Принцип максимума Понтрягина. Приращение критерия качества для задачи терминального управления. Игольчатая вариация. Связь с классическим вариационным исчислением. Принцип максимума и необходимые и достаточные условия оптимальности. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Рекуррентное соотношение Беллмана для дискретных систем. Уравнение Беллмана для непрерывных систем. Леммы Болтянского по обоснованию принципа оптимальности в задаче быстродействия. Связь динамического программирования с необходимыми и достаточными условиями оптимальности. Проблемы практического определения управления. Значение размерности задачи. Точность численного определения параметров управления и точность математической модели системы.
ПРОБЛЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДВИЖЕНИЙ. Постановка задачи устойчивости. Асимптотическая и неасимптотическая устойчивость. Функции Ляпунова. Теоремы прямого метода Ляпунова. Устойчивость по первому приближению. Теорема Н.Н.Красовского об оптимальной стабилизации. Практические способы определения стабилизирующего управления. Линейно-квадратичная задача оптимальной стабилизации.
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О СОСТОЯНИИ. Постановка задачи аналитического конструирования регуляторов при неполной информации о состоянии. Условие наблюдаемости линейных систем. Наблюдаемость в нелинейных системах. Теорема А.А.Красовского о наблюдаемости нелинейных систем. Системы оценивания. Определение параметров идентификатора решением дуальной линейно-квадратичной задачи. Определение параметров идентификатора процедурой принципа максимума. Применение процедуры численного интегрирования нелинейной системы уравнений для коэффициентов квадратичной формы - функции Ляпунова. Программная реализация этой процедуры. Возможность применения систем обработки символьной информации.

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Аксиоматика теории вероятностей и теории случайных процессов. Условное математическое ожидание и условная вероятность: определение, свойства. Марковские случайные процессы: эквивалентные определения. Уравнение Колмогорова-Чепмэна. Марковские случайные моменты. Строгое марковское свойство.
ЦЕПИ МАРКОВА. Основные определения. Использование производящих функций, характеристических чисел и векторов для описания цепей Маркова. Классификация состояний. Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Эргодические цепи. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае. Неоднородные цепи Маркова. Методы моделирования цепей Маркова. Идентификация параметров марковских цепей.
ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ЦЕПЕЙ МАРКОВА. Оптимальная в среднем квадратичном (с.к.) фильтрация и прогнозирование состояний марковских цепей по зашумленным наблюдениям. С.к.-оптимальная фильтрация и прогнозирование состояний частично наблюдаемых марковских цепей.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ. Основные определения и свойства. Уравнения Колмогорова. Однородные марковские процессы с конечным числом состояний. Специальные процессы. Неоднородные процессы. Использование производящих функций, характеристических чисел и векторов для описания марковских процессов. Методы моделирования марковских процессов. Идентификация параметров марковских процессов с непрерывным временем.
ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЙ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ. С.к.-оптимальная фильтрация и прогнозирование состояний марковских процессов по косвенным наблюдениям в присутствии винеровских шумов. С.к.-оптимальная фильтрация и прогнозирование состояний частично наблюдаемых марковских процессов.
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО), ОПИСЫВАЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ. Потоки событий. Марковские процессы рождения-гибели. Виды и стадии процесса массового обслуживания. Экспоненциальные каналы и их параллельные и последовательные соединения. Системы с очередями. Системы с приоритетами. Системы с изменяющейся интенсивностью потока заявок. Задачи анализа и оптимизации СМО.

АНАЛИЗ И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессионная модель и ее обобщения. Методы оценивания параметров линейной регрессии без учета априорной информации. Способы учета априорной информации о параметрах. Основные понятия дисперсионного анализа.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ. Основные понятия. Критерии оптимизации планов. Теоремы эквивалентности. Численные методы построения оптимальных планов. Планы первого порядка. Линейная теория возмущений и планирование эксперимента.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ. Нелинейный регрессионный анализ. Планирования эксперимента для идентификации нелинейной регрессии. Последовательное планирование.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА. Псевдоградиентные алгоритмы планирования. Планирование экстремального эксперимента при наличии ограничений. Поисковые алгоритмы.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗ. Планирование дискриминирующих экспериментов. Планирование отсеивающих экспериментов.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ(ЛА). Оценивание параметров движения ЛА с использованием методов линейного и нелинейного регрессионного анализа. Минимаксные методы оценивания при неполных данных о возмущениях модели наблюдения. Планирование работы траекторного измерительного комплекса.

СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАНТИЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. Измерение финансового риска с помощью квантильных критериев. Теоретические основы доверительного метода. Принцип сужения-расширения обобщенных минимаксных задач для получения двухсторонних границ квантилей распределения финансовых показателей. Понятие ядра вероятностной меры. Свойства ядра. Примеры. Достаточные условия регулярности ядра. Теорема о верхней оценке квантили для случая вогнутой по случайным параметрам функции потерь.
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ. Классическая теория ценообразования. Рыночный и индексный портфели. Альфа и бета финансовых активов. Оценка математических ожиданий и ковариаций доходностей ценных бумаг. Арбитражная теория расчетов. Модель ценообразования для ценных бумаг с фиксированным доходом.
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ АКЦИЙ С УЧЕТОМ РИСКА. Модель дохода портфеля при инвестициях на конечном горизонте. Детерминированный эквивалент задачи квантильной оптимизации. Индекс надежности портфеля. Задача Тобина-Марковица. Решение детерминированного эквивалента при разрешенности «коротких продаж». Векторная модель риска с использованием вероятностных ограничений. Решение задачи оптимизации портфеля акций с учетом вероятностных ограничений. Метод построения оптимальных портфелей в случае запрета «коротких продаж».
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ С ФИКСИРОВАННЫМ ДОХОДОМ. Модель дохода портфеля с учетом реинвестиций капитала. Выбор допустимого уровня риска. Двухпараметрическая аппроксимация задачи квантильной оптимизации. Свойства множества допустимых значений параметров. Сведение двухпараметрической задачи к однопараметрической. Свойства субоптимального портфеля.
ОЦЕНКА РИСКОВЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ. Чистая настоящая стоимость. Метод оценки, основанный на дереве вариантов реализации проекта. Сценарии будущего развития. Особенности сценарного метода оценки. Введение в теорию опционов. Основные понятия, связанные с рынком опционов. Определение цены опциона в рамках биномиальной модели экономики. Применение теории опционов к оценке рисковых инвестиционных проектов в сфере недвижимости.

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ. Информация, содержащаяся в случайных величинах. Энтропия распределений. Энтропия равномерного и нормального распределений. Энтропия случайных последовательностей. Информация, содержащаяся в функциях случайных величин. Статистические модели передачи информации по каналам связи.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ. Дискретные линейные и нелинейные стохастические системы. Стохастические дифференциальные системы. Методы корреляционной теории.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Метод статистической линеаризации, метод эквивалентной линеаризации, метод нормальной аппроксимации, метод моментов, метод семиинвариантов, метод ортогональных разложений, метод эллипсоидальной аппроксимации и линеаризации.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ. Канонические разложения случайных функций. Канонические интегральные представления случайных функций. Способы построения канонических разложений. Разложение случайной функции в ряд. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В СОЦИОЛОГИИ И ЭКОНОМИКЕ

ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДАННЫХ. Основы проверки статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Задача с дихотомическими данными. Теорема Гефдинга. Построение локально наиболее мощных ранговых критериев. Понятие об асимптотической относительной эффективности двух критериев. Проверка гипотезы об однородности в двухвыборочных задачах (критерий Вилкоксона, Ансари-Брэдли, Стьюдента, Фишера, Колмогорова-Смирнова, омега-квадрат). Понятие о робастности статистических критериев.
МЕТОДЫ РЕПРЕЗЕНТАТИВНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ. Понятие о выборочном методе. Определение объема репрезентативной выборки. Объем репрезентативной выборки в случае расслоенной генеральной совокупности. Оптимальный объем выборки при ограниченном финансировании исследований.
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ. Задачи однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа. Случай гауссовости наблюдений. Доверительное оценивание контрастов в однофакторной модели. Случай упорядоченных альтернатив. Ранговые критерии Краскела-Уоллиса, Джонкхиера, Фридмана и Пейджа. Относительная асимптотическая эффективность по Питмену классических и ранговых критериев.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ. Шкалы измерений признаков. Таблица сопряженности признаков. Определение независимости признаков, измеряемых в номинальной шкале. Теорема и критерий Фишера-Пирсона. Меры связи признаков: коэффициенты детерминации, контингенции, ассоциации, среднеквадратической сопряженности, Пирсона, Чупрова, Крамера. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена и коэффициент конкордации Кендалла. Выборочный коэффициент корреляции. Критерий согласия Пирсона для количественной шкалы. Корреляционное отношение. Задача линейного регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов. Критерии проверки адекватности подобранной регрессионной модели.
МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Модель факторного анализа. Метод главных компонент. Альфа-факторный анализ Кайзера.

ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНУЮ МАТЕМАТИКУ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ. Основные понятия теории полезности. Ожидаемая полезность: примеры функций полезности, петербургский парадокс. Экспериментальное определение функции полезности. Базовые понятия страхового дела. Статическая модель страхования с полным возмещением. Множества допустимых страховых премий. Нахождение границ страховых премий при экспоненциальной функции полезности. Свойства вогнутых функций. Неравенство Йенсена. Теорема о нагрузке и ее следствия.
МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ С НЕПОЛНЫМ ВОЗМЕЩЕНИЕМ. Статическая модель страхования с неполным возмещением. Функции выплат и примеры договоров страхования. Оптимальный договор страхования. Теорема Эрроу и ее следствия. Выбор размера эксцедента убытка в договоре страхования с безусловной франшизой. Применения теоремы Эрроу в моделях перестрахования.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММАРНОГО РИСКА. Оценка погрешности нормальной аппроксимации посредством неравенства Берри-Эссеена. Оценка погрешности пуассоновской аппроксимации на основе неравенства Прохорова. Оценка вероятности «разорения» с помощью неравенств Чебышева и Селберга. Применение указанных неравенств при расчете вероятности неисчерпания страховой компанией своего резервного фонда.
МОДЕЛИ НАСТУПЛЕНИЯ СТРАХОВЫХ СОБЫТИЙ. Процесс числа страховых случаев: локальный и глобальный способы его описания. Пуассоновский поток страховых событий и его свойства. Модели выбытия из данной совокупности и ее основные характеристики: функция дожития, интенсивность выбытия, кривая смертности. Закон де Муавра.
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ. Модель страхования с дискретным временем. Задача о «разорении». Коэффициент Лундберга как показатель надежности функционирования страховой компании. Теорема Крамера-Лундберга. Сложно-пуассоновская модель и ее характеристики. Теорема Крамера-Лундберга в модели с непрерывным временем.

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА. Линейная модель множественной регрессии. Обобщенная модель регрессии, гетероскедастичность и корреляция в ошибках наблюдений. Оценивание параметров регрессии в мультиколлинеарных моделях. Устойчивые методы регрессионного анализа. Нелинейные регрессионные модели.
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ. Цели и задачи анализа временных рядов. Модели временных рядов. Модели детерминированной и случайной компоненты временного ряда. Выделение тренда методом наименьших квадратов. Оценивание сезонной компоненты. Выделение тренда в модели с коррелированными ошибками. Стационарные временные ряды. Оценивание параметров модели авторегрессии. Подбор порядка модели авторегрессии. Модель авторегрессии-скользящего среднего.
СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ. Анализ системы из двух уравнений. Структурная и приведенная форма системы уравнений. Проблема идентификации системы уравнений и ограничения на структурные параметры. Методы оценивания параметров системы уравнений: двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов.